+ All documents
Home > Documents > Endogenous lifetime, accidental bequests and economic growth

Endogenous lifetime, accidental bequests and economic growth

Date post: 19-Nov-2023
Category:
Upload: independent
View: 0 times
Download: 0 times
Share this document with a friend
15
! "# $% &’($()( *+ ’ ,- ./0 ’ "’# 12 )3 4 5 6 "# ! " #!$ $ " % " % &$ $ (’) % * % + , - %, #, ./0 1, &23, 423, . % ! 5% 6 7$ 5% / 8 (-922 ( - 9 %$ 4 2 :4 ; $ 22 < 5= $ )$ )&- 22 47 * $ . 2 :. 2> $ 22$ % % ? 8 @ [email protected] [email protected] , @ A;B > 21 ;1B, %"@ A;B > 21 ;3 ?? 8 @ [email protected] [email protected] , @ A;B 2 B B> ;, %"@ A;B 2 B >> ;1 ??? 8 @ [email protected]
Transcript

������������� ����������� ������� ���������������� � �

���������� ��������������������������� �������

������������ ��� ���������������������������������������� !����

"��#������

�����������$�%���� ��� �&'($()(������*�+������������'�������,��-��

.�/�0������ �'���"'�#������

������������ ��� ����12����������)��3�����������������������4��

5��� ������ 6��������"��#�������

��� ��� � ����� ����� ��� ����� ���������� ��������� �� �� ����� � �������

��������������������� ����� ������������� �������� �����!������������� �����

��� ��� ������������� ���������� ��������� ��� �"�����#�!���$�� ������ �������$�

�����"��������%���������������������������������������"����������������������

���� �� �������� ���� ���������� �� ������ �%� ���� ����������� �� ���� ����������

& �� $� �'�������� ������$� (�����')����� ��%�������� � � �����������

�������������� ��� �����������*���%���������������������������

��������� +��� �������������,�- ���������%�����,�#�����,�./0��� ���

��� �������� ���� �1�,�&23,�423,�.��

����������������%���������!�� ���5�%��6�������7����$�5�%��/�����8������� ��������������������

���� (-922� �(������ -������� 9�������� ��%����$� ��� � �� 4��� 2��:4��� ; $� ��22� ��� ����

<����� � �5����=����� ���������$�)���$�� �)&-���22��4 ���7����������*��� �������$���� ���

.������2���:.������2>��$���22$�%������������� ����������� ������������������� ��������������

�������� �%������������� ������������������?��8�������������@�[email protected]���[email protected],�����@�A;B��>�����21�;1B,�%�"@�A;B��>�����21�;3���??������� �����������8�������������@�[email protected]���[email protected],�����@�A;B�

�2����B�B>��;,�%�"@�A;B��2����B�>>�;1��???��8�����������@�[email protected]��

/��C���$�/��0��$�C����������

� ��

!"#� ����� ���

���� ���������� ��������$� ������ %�������� � � ��������$� ����� ���� ������� � ���

����� �� ������� ���� �� ���� ������� �%� �������� ��!��� � � ���������� ����$�

����������������$�8������ �8��$�2B33,�6���$�2B33,�8���� �8����$�2B3B,�

C����$�2BB�$�����$� ��������"�� �/��� �$�2BBB,�0����� � ���$�2BBB$�����,�0����

� �6���$�����,� ��������"�� �9�����$����;$�����,�8���� �)���'�'6���$�����,�

6���$����>,�7����� �D� ��*$����E���& �� $��������������������� ������������

�%� ���� � ������ �� ����� ����� � � ��������� ����$� ������ � �� ������� ������� �

�������� �� ���� ����� ��� ��� ����$� ����$� /���'8����$� ���1�$� ����� �� � ���������� ���

����������������������������������������!��� ����������� �������������

���������� .�� ����� %�� ����� ����� ���� ���� ���� ������� ����������� ����� ����

���� ���� � ���������� �%� ����� ��������� ������� �� ������ �������������!������� ����

���� ���� ������ ����� �%� �� ���� ��� �� ���� �� ���� ��� %�����2� +� ��������

������������ ����������� ��������� ���� � �� ��!��� �� ���� !���� ����������

��������� �./0�� � � � ������� ��%������ �"����� ����� ����� ��� ��� � ������ �� ����

����� � � ������� �%� �������� ���������$� ��� �������� ������ �"������� %��������

����������$�����,������������ �9��$����>,�8������������ �F���$����E,� �����

���"� � � 5����G�$� ��2�,� /���� � � ��$� ��2�,� C���� � � 0��$� ��2��� ��

� �������%���������8�������� �������$�����,�C����� �0��$���2����

����&� ��������$� ��� ��� �� ���� %���� ������ �%� �� ���� ��"������� %��������$�

���������� ������� ��� ����� � ������� ����� ��%������ �� ���� ��� � � �!�'���� �

./0��� ������9���� ��2B1>��� ����� �����������%������������%����� ������ �

������$�!���� ������� ��� ����� ���� � �������������� %� ���#�� �������� �����

��������������� �%� �������� %��� ���� %���� ���� � �%� ��%�� �������� ��� �����"�� ��� � �����

��� ��������� ��� �����������������$�!��������������� ������������%�������%�

��������������������������������������������� � �����������������������������

������� ����� ��� ���������������� �����������������������"���$�����������������

��%���������������� ������������������� ��������������������%������������������

� �9�������>������ ������� ���!����������������$����������������"�� ������ �

��������� ��������� �����$� ���� ������ ���%���� ��� ��� �� ���� ������� �%� ���������

���������� ���!��� ���� � � ���� ��������� 8����������� � � F���� ����E�� �������

����� ���� � ��� ���� ��%������ ��� ��� ��� �%� ���� ������� ������� !����� ��$� �� ��$�

������� � ��� ������� ������� ���������� ��������� � ��� �� ��"'%���� � �������

������� �����$� � � ���!� ����� ���� ������� ���� ��� �"���� � ��� � �������

%����������� � � ���� �������� ������� !��� ���� ������� � � ������� ������ �� ����

��������� %��������� %����� �������������/����� � ��� ���2��� ��� ������ ���

!���������������������%��������������������� �%� ������������� ���������������

������������� & �� $� %��� �� �������� ����� �%� ���!$� �� ��� ���"� � � 5����G��

���2������!�������������� �'������0�� ��D�����%��������������������������������

!���� � ������� ��%������ ��� ��!�� ���� ����� �%� ���� ��� � � 9���� H�� �2B1>�� ����

C�����$�C���� � �0��� ���2��� ��� ���� � ������� ��%������ �� ��./0������� ����

������� !���� �� ��%���� ������ %�� �������� � � ���!� ����� �� ������� �� �������

2�+�����"�����$�!������������������������������%��������������$�!�������������������� �����

���'��'���'������������������-�������������@�����$������������%������!����������"� ��!������

������������ ��� %����� �������%���� ������ ���� �������������� & �� $� ������"������"�������

������� ���!��� ���������� ��� %� � ���������� !���� ��� �%��� ���� ������� �������� ������� ����$� ����$�

8����������$����2$�����,�����$����E�����������%������� ������������'����� ������������������

- ���������%�����$����� ��������������� �����������!���

� ;�

������� ���������� ��� ��������� � ���� ������� �������� �%� ���� �"������� �%� �!��

������������� %����� ��� !��@� � �� $� �� ���� �� ���� ������ ������ ��"� ���@� ����

�������� ��%�� �"�������$� ��� ����� ������� ������� ������� ����� �����$� � � �����

� ����� ���� ���������� �������%� ���������!����$� ��� ������������� ���� �������

�������������������������!�������������������������������������������Α :5��������������������0�������������$����E�%��������������%�Α :�� �Ρ:�%%�������������+�� ��� �� ���� ������ ������ �%� �� ���$� ����� ������ !���� � ������� ��%������ � �

� �������%�������$�8�������� ������������������!������� ����������!����

� ��� ����� ����������� ����� �������� ������� � ������$� ����� �!�� ������� �%�

���������� ��� � �� � �"���@� ���� %���� ����� ���������� � ��� ��!� �����$� �����

%��������� ��� %����� ��!� �������%� ��%�$� ���� �������������� �����$� ��!� %��������� ���

%����� ����� ������ �%� ��%��� ����� �� ��� ���� �� !���� ���� ��������� ��� ���� �%� ����

9���������� ��������� 6�����$� C���� � � 0��� ���2��� �"�� � ���� �� ��� ���

���������� ������� ��� � ������� %�������� � �� ���� ����������� �%� !���� %��� �%�

����������!� ������ �������I����� �I���$�2BB3�$�� ����!��������!�� ������

������� �%� ���������� ��� ��'�"���� ���� ��� ������� ���� � ��"�������� ��� �%%���������

������������������������%�����������

�������� ���������� %�������%� ������� �������%� ��������� �� ����������./0��� ������

9���� � �2B1>�� ��� ���� �������� �%� ������ �%� ���� ������ � ������� ����� ��� �!��

����� �����$� !����� ���������� ����� ���� �� ����� ����� ���@� ���� ��%���� ��������

������$� ����$�����������%����������*� ��+��� ����������������%��������������$�

�� � ��������!������� ������ ���������!���� ���%��� ��� ���� %��� ����� �!������

����������� ������$� ���� ����� %��� ����������� ������� �%� ������!�������� ������ $�

� ���������������� ���� ���������������%� �$�!������������������������� �

�������� �� ���� %����$� ������ � ��� ���� ������� %����� ����� �������� �� ����

����������������� ��������%� ����������������� ��� � �������������%���������$�

����������������� ����� ������������%�����������,����������������������$����

�� +���� �2B3>�$� ����$� ������� �%� ������ � ������ ������� ���� ����� �� ����������

���������� ��� ����� �!� ������� ����� ���������� ������� �������� ���� %����

����������$�������������!��%���������������������������������������!�����%������

����� � �� � ������� �������@� ���� ����� � ������� �%� ���� ��������� ���� ����������$�

������������ ��������%������������������������� �������!�' ����������'�����

������� ����� � �%� ���� ��' ��������� ������� ����� �������� ���� ������� �� ����

�� ������������������������

������������ ��J���� �%� ���� ������ ����$� ����%��$� ��� ��� ������� ���� ���� ����� �������

���������� �� ������� ��� ����� �� �������� ��!��� � � ���������� �� �� ./0� �� ���

���������� ������� ���� �������� ���������� ��������� ����� ���� �������� %��

��������� ����� �� ������ ��� ������������� ������� ����� ���� ��!� � � ����� ���� ��

������ ��� ��!���� �������� ��������������� ������� !������������ ��J�������$� !�� ���!�

��������������"��������%������������������������� ���� ������ ���������������

�!� ���� ���� ������ ���� %������ �%� ������� ���� �������� ���������� �%� ����

�"��������%��'�������� ������$�(�����')�������%��������� � �����������

������!���������� ��%%������%������������������������������"�����6�����$�����

������� �������� ������� ����� �������� ���� ������� ��"� ���� ���� ����� ��� ����� ����

� ���������%%����������������������������������������$���������!����!��

��.������J������������������������������ ��"������� �������������������������!������������

������������$�����$�+���J��������$�2BBE�$�#� ��2BBE������������������������������������ ������

/��C���$�/��0��$�C����������

� ��

�������� ������� ��������� ���"���� ��J�������� ��� ������� ��!� �� ���� ����� ����

�������%������������ ������������������������ ��������������

�������������%������������������� ����%����!���)��������������������� ����)������;�

�������� ���� ������$� ������ � � ������� ���������� ��������� �%� �� ./0��� ��� !����

� ���������%�����$�������������������������� ���������������������)��������

����� ����

$"�������

(�(�������2���

���� �� �� ������ �����������./0� ����� � ��������������� ������%������ �������

� �� ��������!�'���� ����� �� ��� ������/�%�� ��� ��� � ����!���������� ��� �����

������9���� $�2B1>�������%���������!�������������� �%�"� �!�����������$�����

������ ����� �������� ��������� �!����������� �����������5��������� ��� %�"� �� �

������� ��� N �� �� ������� ����� ���� �������� �����!����� ����� �������� ��� ������ �� ������������������������%����������������� �!��������������� π−1 �� �π $�������������� ��� ���� ��� ����$� ���� � ��� ���� ������������ �%� �������� t � ���� �!� �!������������%��������������������������� ����%���$�!�������������!����

tw � ���� � %�� ���������� � � ������ ���������� 6�����$� ���� �������� ���������

!���� ������ ��"��� ��� ���� ������� ���� 10 << τ � ��� %����� �� ������ '�� ���� �������

������� ��������� )���� ������ �� ��� ��!� !��� ����� !���� ��$� � �������

���������������������������;�&%�������������������%��������� t � �����������������%��� ������!��������������� tπ−1 �$��������������� �������������������� ���%�������

���������������������������������������%�����������������$��������������

� ( )( ) tte

tt srb 11 11 ++ +−= π $� �2��

!���� ts � ��� ������� � 1+ter � ���� �"����� � ������� ���� ����� � %��� ����� t � ��� �����

1+t $� ��� ������ � ��� ��� �������� ��� � � ����� ���� ���� ����� ������ �� �����

��������������%��$������� �������������%���������������� ��� ��%��������� t ��� $������������$���@�

� ( ) tttt bwsc +−=+ τ1,1 $� ���2��

� ( ) tte

t src 11,2 1 ++ += $� ������

!���� tc ,1 � � � 1,2 +tc � ��� ����'���� ���������� � � �� '���� ����������� -��� ���2��

�������� ����� ��������� ��� �������� �������� � ������ ���� ������� !����� �� ������

���������

����8�� ������ %����� ������ � � ��������� ��� ����$� ���� � ��� ���� ������������ �%�

�������� t �����������!�������������������%���� ���������������������"�����������"����� ���%��������������%������

� ( ) ( )1,2,1 lnln ++= tttt ccU π $� �;��

���J�������-�������2��� ������������%����� ���� ������%�������������������%�����

�����������������@�

;� (���� ����$� �%%���� %��� ���������� ������$� ��� �� ��� ��� ������� � ��� �������� ����������

���������!���������������%������������� ����� ����� ����� ���� �������� ��� ��� !������ ���������� ��� ��%��$� ��� �� #���� � � � 4� �

�2B3E����������������������!���������� ���������������������������������������%�������%�����������

�%%������%��������������������

- ���������%�����$����� ��������������� �����������!���

� >�

� 1,1

1,2 11

++ +=⋅ t

tt

t rc

c

π�� ���2��

-������2��������������������������%����������������!�������������!��������

� �!����� ���������������%����� ������ ����������������������C���-������2�����

��� ����� ����� �� �� �������!�������� ����� ��������$� � ��� ����� ����� ���� �%%����� �%�

��������� �� ���� ���'�������� ������������ ���!��� ���������� !��� ����� � �

!��� �� � ���� ������$� ����� ��� ����� ��������� ���� ������� ���%��� �%� �� ������� ��

� ��� ������������� ������������������������������� ����&���������$����������

����������������������������������������������������%�������������������

��%���� �%%��������!������������!�������� ��������������� ����������!������

��%����������%�����������& �� $�����������������$������� ��� ���� �������������

������� ���� ��������� ���%���� �%� �� ������� �� ������� ���������� ���������� ��

�� ��� ������������� ���������$���������!���������� �����������������%��� '���$�

��� ������� ��� ��� � �������� ���� ����������� �%� ����� �� �������$� ��� ����� ����

���%����%� ���� ������ �������� ��� ���������� ������ ����� �������������������������

� ��� ���� �� ���� ������ ����� C���� � � 0��$� ��2��$� !����� �� �� ������� !����

���������������������������%��� ������ �������������������������� ���%�������

����!� ���� �����

������������-�������2�$�������� ����$�!������������������%���������%����!�@�

� ( )[ ]ttt

tt bws +−

+= τ

ππ

11

$� ������

!���� tb ���� ������ ����������'���� �����!� �-����2���

( (5����

& �������%�����������������������������������+������� t $����������������������� tY �

����� ��� ��������������������� tK ��� �������� NLt = ��������������������������

�������������������������'9�����������������αα −= 1

ttt LAKY $�!���� 0>A ������������

�������� � � 10 << α � ���� ������� ����������� �%� ��������� )���� �������� ��������

���������� ��� ���� � � �%� ����� ���� � � � ������� ��� ��� � ��� ���� ����$� ��%���

��"����������������������%����������������� ��������������� ����$��������@�

� 11 −= −αα tt Akr $� �>��

� ( ) αα tt Akw −= 1 $� �1��

!���� NKk tt /:= �����������������������%����������

(.(93��2-�� 3����3������������*��2���������

�� %����!� ���������� ������� � � ������� ����� ��� ����� t � ������� ���������� ������������$� th $����%���� ������������ ��� ����!��������������������"������ ����

�������������������������������� 10 << τ $��������@�

� tt wh τ= $� �E��

��������'�� ��� �������������"���������

����6�����$�������������������������������� ��%��������%���� ��� ���������� t $� tπ $���� ������ � ��� ����������� ��� � �� ���� � ��� ���� ������� ������$� !����� ��� �� ���

������� � ��� ������� ���������� th $� ��� ����� ( )tt hππ = �� C����!��� 8������� � �

/��C���$�/��0��$�C����������

� 1�

��������������� � ��������"�� �5����G�����2��$�!�����������������������������

!��������%����!���)'����� �%�����@�

� ( ) δ

δπππt

ttt

h

hh

∆+∆==

1

ˆ$� �3��

!���� 0, >∆δ $� 1ˆ0 ≤< π $� ( ) 0>′ hhπ $� ( ) 1ˆlim ≤=∞→ ππ hh $� ( ) 0<′′ hhhπ ��%� 1≤δ �� � ( ) 0<>′′ hhhπ �%��

��� ( )δ

δδ

1

11

: ��

���

∆+−=

><

Thh � �%� 1>δ �� ���� �������� π̂ � �������� ���� �������� �%� ����

�%%������� �%� ������� ���������� �� ���������� +� ���� �� π̂ � ���� ��� ������� � ����"��������� ����� � ������� ���� ��������� δ � � � ∆ � ������� ����� ���� �����������%� ( )hhπ ′ �� ����� ��%� ����������%� ���������%� ������������ ��� �������������

������ π̂ �� &� ��������$� δ � �������� ��!� �� � ������� ���� �%� ������� �������� ������%��� � ���� ������ ��������� ������� ���� ������� ����������� &%� 1≤δ $� ( )hπ � ���

�������%�����h �� $�����$���������� ��%%������"��������������������������������������������������%���*��������� π̂ ���� h �������&%� 1>δ ��������������%���������)'

����� � � � ������� � �%%����� �"���@� ����$� ��������� �������� ���� ������� ����

������������ ��%��� ��%���� ���� ������� � Th �� ����� ����� ����� ���� ���� ������� ��%%����� ��� ������ ������ ������� �%� δ �$� ���� ���!�� �� � ������� ���� �%� ���������������� ��� ���%��� � ���� �� ������ ��%�� ���� !��� h � ��� ���������� ��!$� !�������������������������������π̂ ������%%��������� ���� ������ h ������������������$�����$�6��������������$����B�� �C����$���2��%�������������� ������&�����������δ ��������� ���� �������� �%� ������� � �%%����� �%� ���� ���������� � ������� �������� ��� ��

� ��������������������������

(!(�:2���-��2������ ���%��3� �������-�:2����

0������������������ ����-��� �E�$������������������������������������!�����

��@�

� tt sk =+1 �� �B��

������������ -���� �B�$� �����$� ���� ��'���� � ����!� � -���� �2�� � � �B�$� �����������

�������@�

� ( ) ( )( )[ ]ttttt

tt krwk +−+−

+= −+ 111

1 11 πτπ

π$� �2���

!��������� ��� ����%��"����������������%�����%������������

����(�!$������ ���� ����������� �� ������ �� ���� %������������-��� �>�� � � �1�$� � �

��!��� ����� ������� -���� �1�'�3�� ���� ��������� %������ ( )thπ � ��� ��� �"����� � ���

( )tkπ $�������������!��������������������� ��� ���������������������$����� �������

�%������������ ������ ��������%����!������� �� �������� �%%������������@�

�( )

( ) ( )( ) ( )[ ]{ }11 1111 −+ −+−−

+= tt

t

tt kAk

k

kk πατα

ππ α

$� �22��

!������������������������"����� ���@�

�( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) �

���

+−++

++=

−+

+ αδ

αδ

αδ

δα

ττπατ

τπτπ

11

112

1

11

11

ˆ11

ˆ11

ˆ

t

t

t

tt

kz

kzz

kz

Akzk $� �2���

- ���������%�����$����� ��������������� �����������!���

� E�

!���� ( ) ( )[ ] 01:1 >−∆= δαττ Az � � � ( ) ( )( ) 011:2 >−−= τατz �� C�"� � ������ �%� ���� �������

���������� � ��� -��� �2��� ��� ������ � ��� kkkk ttt === −+ 11 �� & �� $� ����� ���

������� ��������������%�����%����!���%�����@�

� ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0

1

ˆ11ˆ11

ˆ

1

12

1

11 =−�

���

+−++

++=

+

kkz

kzz

kz

kAzkF αδ

αδ

αδ

δα

ττπατ

τπτπ

�� �2�H��

����&������"���������!����� �������"�������� �������������������������%�����%�"� �

�������%��������������-����2����

%"�&�� ����������� ���� ��� ����&��'��� �

���!� ��������"�������� ������������%����������*���� �������������� ����������%�

-��� �2��$��������%����������������%� 0=k ��������������������������%������� ������

�%%���� ��� ��� �� ���� ������� ����������� ���!��� ���� ��������� α � � � δ ��6�����$���������������%��������������"�����τ ���������������������������������� ������)������;�2���

����C���-����2�H������%����!���������������� ���

(��'��� ���!�� 0=k �����;��������3���������� ��-��-��:("� #(

(�������������%������������%���-����2����)"�"*"

����&�� �������� ��������������������������������%�����%�"� ������$��������%�������

����� 0=k $�!�����%���������������%������������� �� �� �%%��������������2���

���� �� ������� �%� �!�� %���� � �� �%%����� ��������� ����$� ����$� +*��� ��$� 2BB;� � �

0� ����������$�2BB3���/��� 1: −= tt kx �������!�����������������������-����2������

���!�������@�

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

��

=

��

���

+−++

++=

+

+

+

tt

t

t

t

tt

kx

xz

xzz

kz

Akzk

1

1

12

1

11

11

ˆ11ˆ11

ˆαδ

αδ

αδ

δα

ττπατ

τπτπ

�� �2;��

����/����� �����������%� ���� %�"� ������� ��� ��� �� ����������%� ���� ���������"�������

������������4�����������"��%�������� ����������� J ���������� ���� k $�!�����%��������������2>����@�

����

����

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=���

���

�=

++

++

t

t

t

t

t

t

t

t

xk

xx

kx

x

k

k

kJJ

J11

11

01$� �2���

!����������� ��������������������� ������������ �������� k �� �

�( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0

1

ˆ11ˆ11

1ˆ11

ˆ

1

12

11

111 >�

���

+−++⋅�

���

+++⋅

++=

−+

αδ

αδ

αδαδ

δα

ττπατ

τπδ

τπατπ

kz

kzz

kzkz

kAzJk $� �2>��

�( ) ( )

( )[ ] ( ) ( )[ ] 0ˆ111

ˆ

1

2

1

12121 <

++⋅+−=

−+

αδαδ

δα

τπταπτδ

kzkz

kAzJ x �� �21��

���� ����� � � �������� �%� �2��� ��� ( ) 0: >== kJJTrT � � � ( ) 0: >−== xJJDetD $�

�����������$��������������������������������������@�

/��C���$�/��0��$�C����������

� 3�

� ( ) DTF +⋅−= λλλ 2 $� �2E��

!����� ��������� DTQ 4: 2 −= �������������������������������������%��$�������"�

����������� ��� �"���� � � �� %�"� � ����� ���� ��� ���� ���� +�� ��� ��!$� ��%�������

������ ������������!�������������������%��������%�������������������������������%�

���������������������������������������������������������������C�������������

�!�� �������$����������������� ��������������������������������������!�����

�������������>���@�

���

>−=>+−=

>++=

01:)(

01:)(

01:)(

DHiii

DTTCii

DTFi

�� �23��

�������� ��������� �%� ��� ������ ���������� �� �23�$� !���� ���� ����� �!�� �����

�������������� %��%���� � ��� �� ��@� ���� �� %������%������� ��� ���� ���������� ����� �������

������� 1− ��!��� 0=F ,��������%�� ����������������%�����������������������������

�������������� 1+ ��!��� 0=TC ,���������(�����')�������%������������$������� �����

�%� �� ������"� �������������� ����� ������� �������1��!��� 0=H $� ������ 1=D � � �

2<T ��

����+�� ��� �� ���� ���������� ��������� �%� ���� *��� ����������$�!������� ���� %����!���

�����������

(��'��� ��� $�� "�# $�� ( )δα +<< 1/10 3��( 93��� 0=k �� � ���� 2����-��( " # $��

( ) 11/1 <<+ αδ 3��(93��� 0=k ��� ������������ �������-��(

(������&%� ( )δα +<< 1/10 $�����%����2>�$��21��� ��23���������� ���� 0=k �!��%� ������

������ 01 <−∞=− D � �� 01 <−∞=+− DT ���� �� ��� �����!������ ( )δα 21/10 +<< �

�� ( ) ( )δαδ +<<+ 1/121/1 $�������������������������5����2��&%� ( ) 11/1 <<+ αδ $�����%���

-���� �2>�$� �21�� � � �23�� �������� � ��� 0=k � !�� ���� 0=T � � � 0=D �� ����

011 >=++ DT $� 011 >=+− DT �� � 011 >=− D �������������5�������)"�"*"

+��5��������������!�$�����*���������������%����� ������������� ������ ����-���

�2��� ��� ������ ��� ������� �� �������� ��� ��� �� ���� �������� ��*�� �%� ���� �������

����������� �%� ��������� ���� �"������� �� � ���� ���������� ���������� ������ �%� �� ������

���������%�"� ����������������������%����������%�"� ��������������� ��� ����!������

0=k � ��� ������� �� ��������� &� ��������$� ����!� !�� ���!� ������� ��������

��������������������%����!����������������������� ��

+��� !���� ( )δα +<< 1/10 ��3���3������� ��������� ��-��-��:("� #�������%

������������{ }k,0 �%3��� k<0 ��3������-���*� ����2����-������3�������� ����

�������� �������-��(

+��� $�� �� ( ) 11/1 <<+ αδ � �3�� �3� ������ ������ ��� ��-�� -� �:( "� # ������

���3�� �3� ���-�� <�� ������ ����� ��� "�� �3� �� 3��*� �� � ��� ��������� A �� �3�

>�&%���������������%������������ ����������� �����%�"� ��������%���%����� �� ��������������������

���� ���� �����$� ���� ����� ������ ��� �%�� � 3����-�� �� D������� �������$� ��� �'���������� ������

������������%��������������������������������

- ���������%�����$����� ��������������� �����������!���

� B�

�--8�2*������2 ����2� ������������%#���3���������������{ }21,,0 kk "�� A ��

������3�*3#�%3��� 210 kk << � �3������ �� � ������������ �������-��� �3��� �����

��������������3������-�� ������������ �������-���2����-��(

+��� %�� �� ( ) 11/1 <<+ αδ ��� 1>δ � �3�� �3������� � "��2�� �3� 3�*3��� ������

����� 2k # ��-���8����� ()��������������*��3���<���3�3����3��;����

τ �=�����>84� >��-��2� �������������������� 3�� �� 2�(

6�����$�����%����!���������������� �@�

(��'��� ���%��?����-��2� ���� �������������(

(������ ���� ���%� ��� �������� ��� ���� ���� �%� ����� ���� ����� � � �������� �%� J $��������� ������������ �������� k $���� 0>T �� � 0>D ������%��$� 0>F ���!������� ���

)"�"*"

.(�(4��-����������������������������-��2� �����

.(�(�(���� ( )δα +<< 1/10 �

&� ����� ����� �������������%� ����������������%� ����4�����������"� J � �������� ��� �������� �����$� �������� ���� ������������������� ���� �� ������ k $� ��� ������� ���������� ������������ ����������� ����23�����%��%���� ������������������������%�����

������������%����!�� ������!�� ��������������������"��������!���������%�

�������������������������������������������

.(�( (���� ( ) 11/1 <<+ αδ �

&������������������������%�����������������%���������"� J ����������������������������������$�� � ����������������� �������� 2k � ������������������������������)���� ����������� ���������23���������������������� ������������������� %���!��������

��� �������� � ��� ���� ��������� ���� �� ������� 1k � � � 2k $� ���� �� � �� ��� ����������D������� �� � � ;� �����$� !�� ����� ��� �������� ����������� ��� ���!� ����� (�����'

)�������%��������� � ����������������������������������!���������� ��%%�����

�%� ������� ���������� �� ��������� �"����� C�� ���� ����$� !�� ������� ���� %����!���

��%����������%���������@� 99.0ˆ =π $� 1=∆ $� 20=δ $� 4.0=α ��!���������������� �� �

���������������������!���������������%������������������������%����������� ������� �

� � ��������� �������$� !����$� ���� ��� ��$� ����$� 7���� � � D� ��*� ����E�$� ���

33.0=α � � � 5.0=α $� ������������1� � � 5.4=A �� C������ 2� �������� ���� ��%�������

������%��τ �!���������������������� ����������������%������������� k ���

1� )��� 0����� ������� � � 7����� � � 5��� ������� %�� ���������� �� ���� ������� ����������� �%� �������� ��

������� ����������

/��C���$�/��0��$�C����������

� 2��

������!��8�%������� ������%��τ �� 100 == xk �@�������� ����!�%�� 77.0473.0 << τ �

� � 9.01.0 << k ��

C����� 2� ������� ������� ����� �� ������ (�����')����� ��%������� �"����� !��� ����

������� ��"������������ &� %���$�!��� 4945.0=τ �!������ 09613.2 >=F $� 00403.1 >=TC $�

0=H � � � 9604.0=T �� 6�����$� �� ���� � (�����')����� ��%������� ������ !���

6859.0=τ $� ������ ��� ��� !����� 07186.2 >=F $� 02827.1 >=TC $� 0=H � � �

7179.0=T ��

����)������������������� ������������%����������%�������������������!��� 1=δ �

������ �� ������� � �%%����� �%� ������� ���������� �� ��������� �"����$� D������� 2� � � ��

���������5���������%�5���������2�������������������$����2�1�� ������ ���!������

��%����������%��������������������������������"���@�������������������������������

������� ���� �� ������ ���� �� 9���� $� 2B1>�� !��� 2/10 << α $� � � ����� �!�� ��������

�������������������������� ���������{ }2,0 k �!��� 12/1 << α �E�

����&%�!������������������������������ ������%��� 100 == xk ���� 2.000 == xk $�C��������

���%������� �������� �;� ������������/��������"����$� 1le $������� �������� ������������τ �%��������������������������������� ������������������������������������"����������%���������%��������������"�����%��!���������/��������"��������

���� �������������!��� 7625.075.0 << τ ��

E�&������� ������� ������!��� ( ) 11/1 <<+ αδ �� � 1>δ ������������!�� ���������� ���������������

�� ����������������������������!����������������������������������!��������������J���������

- ���������%�����$����� ��������������� �����������!���

� 22�

������$��8�%������� ������%��τ �� 2.000 == xk �@�������� ����!�%�� 77.068.0 << τ �

� � 6.00 << k ��

�������%��/������/��������"����������� ��������τ �� 7625.075.0 << τ ���

.( (4>�� 3�'�-��?�������

/��C���$�/��0��$�C����������

� 2��

��� �!�� �������� ������� ��������� ���"���$� ��J�������� ���� ������� ��� ��� �� ����

����$� ��� ��� �� ������� �� ������� &� ��� �� ��$� !��� ���� �� ����� ����� ��

D����������� �$�����!�� ������������� �������������"����� �����������������������

� ���%�� ������������%���������� ������ ��$����������%� ������� �� ��������� ��� ������

���������������������������������� ���%�������������%����������������� �*�-��

��������� � � �%%��� %��� ���� ������ �������� �������� ��� ���� ��� ���� �� ����

�����*������%������������ ������� �������$������������ ������������������������

������%����������0���������������������"��%������������ ���������������������

��� ��������������������������$�������������� ������'������������$������������!����

���� ����� ������� �� ������ ������ ��� ��� �������� ��������*�� ��J�������� ��� ���

��!� ������&������������������������!�����������������!����!�����������������

��������� ���"���$������������ ��!�� ���������������%� ������������� ��� � ��� ���������

��!� ���������������� ���������!������ �����������&�%���$��������%��������������

�����������*� ��������������������������������� ����������&���������$���������

��� ��� ������������������� ��������������������������%�������������������������

���� �������� �����%�� ����� ��� ���� ������ ����� �� ��� ��� ���� ���� �%� ���� ������� �%�

��������� ��������� ������������$������ ����������-����$�� �������� �������� �

�����������

����0���� ���� ������"���� �%� ��� ���$� ��� ��� ��� ��������� ��� ������������ ������ �������

��%������� �������� +�!��$� ��� ��� ������ ��������� ��� ��%��� ����� �������'������� �

���%��������������������������/���������� ���!�����������H���%��������

��� ��� ��� ���"����������!��� �!�� ������������������������ �C���������������������

����������� ������������D�����������%��%���� ��&����������$����� ����������������������

���� �� ������ { }0 � � � ���� �� ��� ����� { }1k $� ����� �"����� �� �������� ���������� ����� �������� ����� ������� � %��� ���� (�����')����� ��%������� �%� ���� ���� �� ������

{ }2k ��&�C��������������!���������%������������� ���� ���� �%%�����������������

���������� ������������������%�� ��%������� ��������� ��������������� ��&%�!��

������� ���� ������ �%� τ $� %�� ������$� !�� ��� ���� ����� ���� ������ ��%�������� ���������� �������� � ������������ �������� � �C����� ������ &� ������� ����$� ����

������� %��� ������� �� ������ ������ ��� ���� ����� � ������� ����� ������ �������

�� ������Α ��� Β ����J�����������������!� ������������&�C���������!��������$�!������ ����������$� �����������%� ����������� ��"��������!����� ��������������%�������

������� &�������$� ���� ����� �%� ��������� �%� ���� ����� ���� �� ��� ��� ���� ���� �����

����� H � � ���� ���� ��������� �%� ���2$� ��� �;� � 1−H $� 2−H � � � 3−H $� ��������������

���$�����������������������%��������������"����$���������� H �� ����������������!����������������� ����������������������%�C��������������6���������$�2BB�$�

2BB1��� ���������� ��������������%����������%�������%�����������������������C��

�!�!������� ����������������!�������!�����������������������������"����������

��������������!���������������J�������������$�����������������������������%�

������

- ���������%�����$����� ��������������� �����������!���

� 2;�

������,��8�����%�����������%��������� ��������{ }0 ���������� ��%���������� �

��������������� �{ }2k �����������������������������%�"� ���� 35.5=A $�

5.0=α $� 94.0ˆ =π $� 6=δ $�� � 9.0=∆ ���������������"�����τ ���� 7815.0 ������$� 8.0 �������� � 7817.0 ��������

," ���������

����� �� ����� ������� ���������������������%������������������������������

����������������!����������������������������������%%����������%�������%��������

����� ���������$� ������� �� ���!� � ����� ���� �"������� �%� ���������� ��������$�

����� ���� �� ������ %�� �������$� ������ ���� ������� �%� ���� ������� ��� ���

���������� ������ �!�' ��������� ��������'����� ������$� ����� ���� ���� ��'

��������� ������� ����� �������� ���� ������� �%� ���� ������� �� ���� �� ��� ���

���������� �������� ����� ��� ����� ���� ��������� �"������� �%� �'��������

������$� (�����')����� ��%������� � � ����������� ������ �� ���� ���������

!��� ���� ������� ��"� ���� ������� � � ������� � �%%����� �%� ������� ���������� ��

/��C���$�/��0��$�C����������

� 2��

��������� �"����� 6�����$� ���� ������� �������� ������ � ����� �!�� �������� �������

������������"���$�����������������������������!���������������J����������������$�

����������������������������%�����������%��$��������������������������������

!���� ��� ���� ������ ���� ������������ �%%���� �%� ���� %������ �%� ��������� �������

������������������������� �� ������*���%���������������������� �����������������

����� �"�� ����� ��� ����� ��������� ��!��'� ����� �%%����� ���� %�� ������

���������!�����������������������������%�����������

+���������

����+���$�+�@�5������������������ ����� ���������������+��-���D���-.���$�EEE:

EB2��2B3>��

����+���J�$� 4�0�$� #������$� C�$� 7������%%$� /�4�@� 5������ �������� � � ���� ������

���%��@�������� ���� �����4�5�����-���!/.�1�$�22�2:2211��2BBE��

����+*��� ��$���@�&����������6�������������8����!���$�."%� ��2BB;��

����8��$� D�4�� 8����$� 0�)��� C�������� ������� �� �� �� ��� �%� �������� ��!����

-����������.-���$��32:>�2��2B3B��

����8��$�D�4�$�)���'�'6���$�K�@�-�������0�!����)��� �- ��6&��5���$������ ���

�6+���������

����8����$�0�)�$� 8��$� D�4�@� +� �%��������� �%� ���� �������� ������ �%� %���������F� 4�

-���!/%�2�$�2:�>��2B33��

����8����������$�4�$�F���$�K�@�5������� ���������"�� ��������������� ������!���

�� ����4�-���9����������%!�3�$��>2B:�>;>�����E��

����8������$� 7�$� ������$� 0�5�@� +� �� ��� �%� ��������$� %�������� � � ��!���� 4� -���

9����������$0���$�23E:�����������

����8���$� ��$� 8L���')���$� +�$� ��������$� 0�@� ��� � ���� ����� ��� ����� ���� !��%���

�����M�+��������%�-����������*����-���5���!0�;��$�E:>������2��

����8���$� ��$� 8L���')���$� +�$� ��������$� 0�@� 5����� �%���� � � ���� ������� �%�

-����������*����+��-���D���1$���$�;B1:��2��������

�������������$�)�@�- ���������%������� �����������!����4�-���������!!0�2�$�

22B:2;E��������

�������������$� )�$� 9��$� 6�@� 6�������$� ����� �������� � � ��������� ����������� 4�

-���0�!���!/���$�2>B:2B������>��

��������$�+�@�/�!�%�������� ��-����@� �������������������������������������������M�

&@�-������ ����� ���������������������-)�%��C����2����E�$�;E:�2�����E��

���� �� ��� ���"$� 9�$� 9�����$� 6�@� &��������� � � ��!��@� !��� �%%������� %��������

��������+��-���D���1%���$�2�B2:222;�����;��

���� �� ��� ���"$� 9�$� 9�����$� 6�@� 5������ ������ ������� � ������� !��� �%%�������

%����������������4�9�����-���-%���$�1�E:1�B��������

���� �� ��� ���"$�9�$� /��� �$� .�@� /�%�� �"�������� � � � ������� ��!���� -��� /����

0.���$��>>:�1;��2BBB��

���� �� ������"$�9�$�5����G�$�0�@�.� ����0�� ��D���� �%� �������� ������������� ��

� �����������������6����)���)���.1���$���E:�;3����2���

����9���� $�5�+�@�(������� ���� ������������������!����� ����+��-���D���..�>�$�

22�1:22>���2B1>��

����C���$�/�$�0��$�/�@�- �������%�������$�� ���������%������� �����������!��@�

���� ���� �%� ���� � ���������� 65D+� ����� 5���� ��� �12�1$� ����@NN���������'

������� �N�12�1N����2���

- ���������%�����$����� ��������������� �����������!���

� 2>�

����C���$�/�$�0��$�/�@�- ������� ��%������ �� �� ���������� ��������� ������ ����

��������C��*+��N5������C�����+��$�%������������2���

����C����$���@�.��������������� ����������� �������������%���������-��4�#������

-���!!���$�;>>:;1>����2���

����C����$� D� �@� -������� ��!��$� ���������� ������ � � ����������@� ���� ������ �%�

���'������������� �� ���������� �%� ����������������+��-���D���2,�;�$� ;1B:;B>�

�2BB���

����C����$�D� �@�����-������%���#����� �5�������9����������� ���<��������

5���$�(�!�O����(O���������

����0���$�.�$�6���$�.�@�(���������������� �����������%�����������!����F�4�-���

!!-���$�22;;:22B2��������

����0���$�.�$� ���$�9�(�@�C���6����������������������� ����!����+��-���D���

21���$�2>�:2>���2BBB��

����0���$� .�$� ���$� 9�(�@� 5��������$� ���������$� � � ��!��@� %��� 6���������

��������� ��� ����9������������������� ����� ��+��-���D���1/���$�3�1:3�3�

�������

����0����$�9�@�0������������������������4�5�����-���!!/���$��>3:�E���������

����0������$�6�$�4���$�/�-�$�������$�6�@�-%%�������!����� �������������������!����

-����������-.���$�2�;B:2�E2�����E��

����0� ���$� 4�6�$� 5����$� 5�$� �� P�� �$� D�@� �������'����� ������������ � �

������������������� �����������������������4�-���������2/�2�$�2�:>B��2BB3��

����#���� $� D�0�$� 4� $� 7�/�@� )������ �������� � � � ��� ���� !��%��@� �����������

�����$����!�����������$�� ��������������"��+��-���D���--���$�1;�:1�1��2B3E��

����#� $�6�9�@���������������%�� ��� ����������&@�D���*!���$�6�$�)���$�.���- ���$�

#� ������%�5���������� �C������-���������(���'#���� $�+���� ��$�3B2:B11�

�2BBE��

����7����$� 5�4�$� 5��$� C�@� &��������� �������� ������� !���� � ������� ����������

��������-����������-/�;�$�B�E:B�3��������

����7���$�+�$�D� ��*$���@�5����������$��� $�� ���!����4�9�����-���2$���$�;2>:;�E��

����E��

����/���$�6���6�$� ��$� O�@� - ������� ������� ���$� ��%�� �"�������� � � ��������

��!����5���%���-���D���!.�2�$�22:;2����2���

����/���'8����$�6�@�+��������#�������%� �� �5����������C����- �� ����'8����!���$�

6�� ���6+������1��

����6�������$� 5�$� P�����$� ��$� 6������� $� #�@� ���� �%%���� �%� � ��� ���� ��"�����

�����$� �������� � ��"����� ������ � � �������� � ���������� ������ ����������� ��

C��� $�2BB3'������5���������)�� �0%���$�2�E:21������B��

����6���$� +�@� )����$� �������� ��!��$� � � ���������� ������� 5��������� 9�����

D���!,�2�$�22;:2����2B33��

����6��$� ��$� C����'5����$�9�$�0� ��$� /�$�7�!�����$�#�$� �������$� 4���@� 8����

��%�������� �%� �!�' ��������� ���������� ������ C������*����� �%� ������� &�� 4�

8�%�������������,���$�;�;:;32��2BB���

����6��$� ��$� 0� ��$� /�$� 8������$� +�$� �������$� 4���@� �������� 9������� �� �!�'

9���������(����������6����� �� �)�����%��$�)��������2BB1��

����6���$�.�$����������� ��� ����������������%���������-���4�!!.�>���$�33:22��

����>��

����I���$� 4�$� I���$� 4�@� )������ �������$� ������������� ���%��$� � � � �������

��!�������4�-���%!�>�$�2��>:2��2��2BB3��


Recommended